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I mwcqnumeri interi (o mwcgnumeri interi relativi o, semplicemente, mwcwnumeri relativi) corrispondono all'mwdainsieme ottenuto unendo i mwdqnumeri naturali (0, 1, 2, ...) e i mwdgnumeri interi negativi (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in mwdwmatematica viene indicato con mweaZ o mweq Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , perché è la lettera iniziale di “mwegZahl” che in mwewtedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi).

Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di mwfqnumeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un mwfgnumero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che mwfw Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un mwgaanello commutativo mwgqunitario, ma non un mwggcampo.

• Proprietà algebriche

• Gruppo

• Anello

• Algoritmo di Euclide

• Cardinalità

• Ordinamento

• Definizione formale

• Operazioni

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Come i numeri naturali, mwhg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è mwhwchiuso rispetto alle mwiaoperazioni di mwiqaddizione e di mwigmoltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, mwiw Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di mwjasottrazione: se mwjq a {\displaystyle a} e mwjg b {\displaystyle b} sono interi, anche mwjw a − − b {\displaystyle a-b} lo è. Tuttavia, mwka Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è chiuso sotto l'operazione di mwkqdivisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio mwkg 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ) non è necessariamente un numero intero.

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero mwla a {\displaystyle a} , mwlq b {\displaystyle b} e mwlg c {\displaystyle c} .

| | addizione | moltiplicazione |

|---|---|---|

| chiusura : | a + b è un intero | a × b è un intero |

| proprietà associativa : | a + ( b + c ) = ( a + b ) + c | a × ( b × c ) = ( a × b ) × c |

| proprietà commutativa : | a + b = b + a | a × b = b × a |

| esistenza dell' elemento neutro : | a + 0 = a | a × 1 = a |

| esistenza dell' elemento opposto : | a + (− a ) = 0 | |

| proprietà distributiva : | a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) | a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) |

Nel linguaggio dell'mwyqalgebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che mwyg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un mwywgruppo abeliano con l'operazione mwzasomma. In particolare, mwzq Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un mwzggruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte mwzw 1 + 1 + … … + 1 {\displaystyle 1+1+\ldots +1} oppure mw0a ( − − 1 ) + ( − − 1 ) + … … + ( − − 1 ) {\displaystyle (-1)+(-1)+\ldots +(-1)} . Il gruppo mw0q Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è lmw0g'mw0wunico gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è mw1aisomorfo a mw1q Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che mw2a Z {\displaystyle \mathbb {Z} } con l'operazione mw2qprodotto forma un mw2gmonoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno un inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero mw2w x {\displaystyle x} tale che mw3a 2 x = 1 {\displaystyle 2x=1} . Quindi mw3q Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è un gruppo se considerato con l'operazione mw3gprodotto.

Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che mw4a Z {\displaystyle \mathbb {Z} } con l'addizione e la moltiplicazione è un mw4qanello commutativo con unità. In effetti mw4g Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che mw4w Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è un mw5acampo.

L'anello mw5g Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è inoltre un mw5wdominio d'integrità, perché non contiene mw6adivisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo mw6q Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dei mw6gnumeri razionali.

Anche se la divisione ordinaria non è definita su mw7g Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , è possibile usare l'mw7walgoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi mw8a a {\displaystyle a} e mw8q b {\displaystyle b} con mw8g b ≠ ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , esistono e sono unici due interi mw8w q {\displaystyle q} e mw9a r {\displaystyle r} tali che

mw9w a = q × × b + r con 0 ≤ ≤ r < | b | , {\displaystyle a=q\times b+r\ {\mbox{con}}\ 0\leq r<|b|,}

dove mw-q | b | {\displaystyle |b|} è il mw-gvalore assoluto di mw-w b {\displaystyle b} . L'intero mw-a q {\displaystyle q} è chiamato il mw-qquoziente e mw-g r {\displaystyle r} è chiamato il mw-wmwaqaresto, risultanti dalla divisione di mwaqe a {\displaystyle a} con mwaqi b {\displaystyle b} .

L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un mwaqqmassimo comune divisore ed un mwaquminimo comune multiplo. Inoltre, per il mwaqyteorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di mwaqcnumeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di mwaqg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } un mwaqkanello euclideo.

La mwaqwcardinalità di un insieme di interi è equivalente a mwaq0 ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (mwaq4aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una mwaq8corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia mwarainiettiva che mwaresuriettiva) fra mwari Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e mwarm N {\displaystyle \mathbb {N} } . Considerando mwarq N = { 0 , 1 , 2 , … … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}} , tale corrispondenza è la funzione mwaru f : : Z → → N {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} } tale che:

mwarg f ( x ) = { 2 | x | , se x < 0 0 , se x = 0 2 x − − 1 , se x > 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{se }}x<0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\2x-1,&{\mbox{se }}x>0.\end{cases}}}

Mentre considerando mwaro N + = { 1 , 2 , 3 , … … } {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}=\{1,2,3,\ldots \}} è la funzione mwars g : : Z → → N + {\displaystyle g\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} ^{+}} tale che:

mwar4 g ( x ) = { 2 | x | , se x < 0 2 x + 1 , se x ≥ ≥ 0. {\displaystyle g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{se }}x<0\\2x+1,&{\mbox{se }}x\geq 0.\end{cases}}}

Ogni membro di mwasa Z {\displaystyle \mathbb {Z} } avrà uno ed un solo membro corrispondente in mwase N {\displaystyle \mathbb {N} } (o mwasi N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} ), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.

L'insieme mwasu Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un mwasyinsieme totalmente ordinato senza mwascestremo superiore o inferiore. L'ordine di mwasg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è dato da

mwass … … < − − 2 < − − 1 < 0 < 1 < 2 < … … {\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }

Un numero intero è mwas0positivo se è maggiore dello zero e mwas4negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.

L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:

1. se mwati a < b {\displaystyle a<b} e mwatm c < d {\displaystyle c<d} , allora mwatq a + c < b + d {\displaystyle a+c<b+d} ;

2. se mwaty a < b {\displaystyle a<b} e mwatc c > 0 {\displaystyle c>0} , allora mwatg a c < b c {\displaystyle ac<bc} .

Più semplicemente: se mwats m {\displaystyle m} e mwatw n {\displaystyle n} sono due qualsiasi numeri relativi si dice che mwat0 m {\displaystyle m} è maggiore di mwat4 n {\displaystyle n} , e si scrive mwat8 m > n {\displaystyle m>n} , se esiste un numero naturale mwaua p ≠ ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} tale che mwaue m = n + p {\displaystyle m=n+p} . L'insieme mwaui Z {\displaystyle \mathbb {Z} } può essere definito a partire dall'insieme mwaum N {\displaystyle \mathbb {N} } dei mwauqnumeri naturali tramite il concetto di mwauuinsieme quoziente. Si consideri il mwauyprodotto cartesiano mwauc N 2 = N × × N {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} } , ovvero l'insieme di tutte le mwaugcoppie ordinate di numeri naturali mwauk ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Si consideri la seguente mwauorelazione mwaus ∼ ∼ {\displaystyle \sim }

mwau4 ( a , b ) ∼ ∼ ( a ′ , b ′ ) ⇔ ⇔ a + b ′ = a ′ + b . {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\Leftrightarrow a+b'=a'+b.}

Questa è una mwavarelazione di equivalenza, infatti è:

• mwavmriflessiva: mwavq ( a , b ) ∼ ∼ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\sim (a,b)} , infatti mwavu a + b = a + b {\displaystyle a+b=a+b}

• mwavcsimmetrica: se mwavg ( a , b ) ∼ ∼ ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')} con mwavk a + b ′ = a ′ + b {\displaystyle a+b'=a'+b} , allora mwavo a ′ + b = a + b ′ {\displaystyle a'+b=a+b'} e quindi mwavs ( a ′ , b ′ ) ∼ ∼ ( a , b ) {\displaystyle (a',b')\sim (a,b)}

• mwav0transitiva: se mwav4 ( a , b ) ∼ ∼ ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')} e mwav8 ( a ′ , b ′ ) ∼ ∼ ( a ″ , b ″ ) {\displaystyle (a',b')\sim (a'',b'')} , allora

mwawimwawmmwawq a + b ′ = a ′ + b {\displaystyle a+b'=a'+b} , mwawu a ′ + b ″ = a ″ + b ′ {\displaystyle a'+b''=a''+b'} , sommando mwawymwawc a + b ′ + a ′ + b ″ = a ′ + b + a ″ + b ′ {\displaystyle a+b'+a'+b''=a'+b+a''+b'} , semplificando mwawgmwawk a + b ″ = a ″ + b {\displaystyle a+b''=a''+b} , quindi mwawomwaws ( a , b ) ∼ ∼ ( a ″ , b ″ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a'',b'')}

Si definisce mwaw0 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } come l'mwaw4insieme quoziente di mwaw8 N × × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } con la relazione mwaxa ∼ ∼ {\displaystyle \sim } :

mwaxm Z = ( N × × N ) / ∼ ∼ {\displaystyle \mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim }

A questo punto è facile dimostrare che ogni mwaxuclasse di equivalenza mwaxy [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} contiene uno e un solo elemento nella forma mwaxc ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a',b')} con mwaxg a ′ = 0 {\displaystyle a'=0} oppure mwaxk b ′ = 0 {\displaystyle b'=0} . In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:

• mwaxw a = + a = [ ( a , 0 ) ] {\displaystyle a=+a=[(a,0)]}

• mwax4 − − a = [ ( 0 , a ) ] {\displaystyle -a=[(0,a)]}

• mwaya 0 = − − 0 = [ ( 0 , 0 ) ] {\displaystyle 0=-0=[(0,0)]}

Si dimostra facilmente che esiste un mwayiisomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di mwaym Z {\displaystyle \mathbb {Z} } costituito dagli elementi del tipo mwayq [ ( a , 0 ) ] {\displaystyle [(a,0)]} . In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:

mwayk ( n 1 , n 2 ) + ( m 1 , m 2 ) = ( n 1 + m 1 , n 2 + m 2 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2})+(m_{1},m_{2})=(n_{1}+m_{1},n_{2}+m_{2})}

mways ( n 1 , n 2 ) × × ( m 1 , m 2 ) = ( n 1 m 1 + n 2 m 2 , n 1 m 2 + m 1 n 2 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2})\times (m_{1},m_{2})=(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2},n_{1}m_{2}+m_{1}n_{2})}

Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:

mway8 a × × ( − − b ) = [ ( a , 0 ) × × ( 0 , b ) ] = [ ( 0 , a b ) ] = − − a b . {\displaystyle a\times (-b)=[(a,0)\times (0,b)]=[(0,ab)]=-ab.}

Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme mwaze Z {\displaystyle \mathbb {Z} } con queste operazioni è un mwazianello commutativo.

• mwazyFattorizzazione

• mwazg1 (numero)

• mwazoIntero di Gauss

• mwazwIntero di Eisenstein

• mwaz4Intero di Blum

• mwaaaIntero algebrico

• mwaaiNumero naturale

• mwaaqNumero razionale

• mwaayNumero reale

• mwaagNumero complesso

• mwaaomwaasOn-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• mwaa0Partizione di un intero

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

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• citerefenciclopedia-della-matematicaNumero intero, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) integer, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefopen-library(EN) Opere riguardanti Integers, su Open Library, Internet Archive.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Integer, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Integer, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• citereffoldoc(EN) Denis Howe, integer, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza mwabqGFDL